Dans la tour de Maître Arithmos, rien ne ressemble à un cours de maths traditionnel. Ici, les nombres se transforment en cristaux magiques, et leur valeur ne dépend pas de leur taille, mais du temps qu’ils mettent à “révéler” leur dernier chiffre. Le procédé est simple à expliquer, mais surprenant à analyser : on part d’un nombre, on multiplie tous ses chiffres entre eux, puis on recommence avec le résultat, encore et encore, jusqu’à n’obtenir qu’un seul chiffre. Le nombre d’étapes nécessaires définit le niveau du cristal. Plus la suite de calculs est longue, plus le cristal est considéré comme rare et précieux.
Dans le cadre du projet Math.en.Jeans, Julia Deknudt et Léa Legrand ont choisi d’explorer cet étrange atelier numérique, sous le titre poétique « L’atelier des cristaux numériques magiques ». Elles partent d’exemples simples pour apprivoiser le phénomène.
Le nombre 77 se transforme ainsi en 49 (7×7), puis en 36 (4×9), puis en 18 (3×6), avant d’aboutir finalement à 8 (1×8). Quatre étapes : c’est un cristal de niveau 4. Le 25, lui, donne 10, puis 0 : seulement deux étapes, cristal de niveau 2. Très vite, des questions naturelles surgissent : que se passe-t-il si le nombre contient un 0, qui fait tout s’effondrer à 0 dès qu’il apparaît dans le produit, ou un 1, qui ne modifie pas vraiment le résultat mais peut rallonger ou raccourcir subtilement la suite ?
Julia et Léa s’attachent à comparer de nombreux exemples : des petits nombres comme 12, 23 ou 39, mais aussi des suites répétitives comme 77, 777, 7777. Intuitivement, on pourrait croire que plus il y a de chiffres, plus le cristal est de haut niveau. Pourtant, le produit des chiffres a parfois tendance à “rétrécir” le nombre assez vite, et les élèves découvrent qu’il faut choisir soigneusement les chiffres pour obtenir des niveaux élevés. Certains semblent particulièrement “efficaces” pour prolonger le processus, tandis que d’autres font chuter le nombre trop rapidement vers 0 ou un chiffre stable. Derrière le jeu narratif se cache en réalité l’étude d’une suite itérative définie par une fonction “produit des chiffres”, avec des comportements parfois étonnants.
Au fil de leurs explorations, les deux élèves s’interrogent sur des questions plus ambitieuses : existe-t-il, pour les nombres à deux chiffres, un “meilleur” nombre qui donne toujours le cristal le plus haut possible ? Et pour trois chiffres ? Peut-on trouver un nombre qui produise un cristal de niveau 6 ou plus ? Et surtout, y a-t-il une limite absolue à ce niveau, ou peut-on imaginer des cristaux de dimension théoriquement infinie, dont la suite ne cesserait jamais de croître en longueur ? Entre arithmétique, optimisation et jeux sur les bases numériques, Julia et Léa transforment une simple règle de calcul en véritable enquête mathématique. Dans l’atelier de Maître Arithmos, les chiffres se multiplient… et les questions aussi.
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